二次函数与圆的知识一样，在初中数学占有重要的地位.对二次函数的考查经常跟方程等知识相结合.

 

概念与图像

 

重点难点

(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围.

(2)理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax²的图象,探索掌握二次函数的性质.

 

内容提要

(1)形如y=ax²＋bx＋c  (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．

(2)当a<O时，抛物线y=ax²开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当a<O时，函数y=ax²的性质；当x<0时，函数值y随x的增大而增大；与x>O时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax²取得最大值，最大值是y＝0.

典型一例

某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.

求增种树的棵数与橙子总产量之间的函数关系.

解：假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y(个)，依题意，果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子.

y=(100+x)(600-5x)

=-5x²+100x+60000.

 

图象性质

重点难点

(1)确定函数y=a(x－h)²＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)²＋k的图象与函数y=ax²的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)²＋k的性质.

(2)正确理解函数y=a(x－h)²＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)²＋k的性质是难点.

 

探索求知

1.你能发现函数y=2(x－1)²＋1的图象有哪些性质吗?

    函数y＝2(x－1)²＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)²的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x²的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的.

当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1.

2.你能说出函数y=－(x－1)²＋2的图象与函数y=－x²的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

    函数y＝－(x－1)²＋2的图象可以看成是将函数y=－x²的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)

 

描点法

 

重点难点

(1)用描点法画出二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象;通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.

(2)理解二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－，)是难点.

探索求知

    1．你能说出函数y＝－4(x－2)²＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

    函数y＝－4(x－2)²＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1).

    2．函数y＝－4(x－2)²＋1图象与函数y＝－4x²的图象有什么关系?

    函数y＝－4(x－2)²＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x²的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的.

    3．函数y＝－4(x－2)²＋1具有哪些性质?

    当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1.

    4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－x²＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

因为y＝－x²＋x－＝－(x－1)²－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2).

 

经典一例

    请画出函数y＝－x²＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质.

分析:由以上探索求知，大家已经知道函数y＝－x²＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－x²＋x－的图象，进而观察得到这个函数的性质.

    解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；

    (2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点.

(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝－x²＋x－的图象.

    说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的.

    (2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观.

    则可得到这个函数的性质如下:

    当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；

当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2.

 

解决问题

 

重点难点

根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是这部分知识的重点也是难点.

探索求知

    1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

    (1)y＝6x²＋12x；    (2)y＝－4x²＋8x－10.

    y＝6(x＋1)²－6，抛物线的开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标是(－1，－6)；y＝－4(x－1)²－6，抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标是(1，－6).

2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?

函数y＝6x²＋12x有最小值，最小值y＝－6，函数y＝－4x²＋8x－10有最大值，最大值y＝－6.

 

经典一例

    例 要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?

    解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞O，所以O＜x＜1O.

    围成的花圃面积y与x的函数关系式是

    y＝x(20－2x)

    即y＝－2x²＋20x

    配方得y＝－2(x－5)²＋50

    所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50。

    因为x＝5时，满足O＜x＜1O，这时20－2x＝10。

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