一、知识要点：

1.  一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b²-4ac。

定理1  ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0 方程有两个不等实数根.

　　定理2  ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0 方程有两个相等实数根.

　　定理3  ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0 方程没有实数根.

　　2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。

　　定理4  ax²+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根 Δ＞0.

　　定理5  ax²+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根 Δ＝0.

　　定理6  ax²+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根 Δ＜0.

　　注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b²-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.

　　二.根的判别式有以下应用：

①  不解一元二次方程，判断根的情况。

例1．  不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1)         2x²+3x-4=0　(2)ax²+bx=0(a≠0)

　　　解：(1) 2x²+3x-4=0

　　　　　　a=2, b=3, c=-4,

　　　　　∵Δ=b²-4ac=3²-4×2×(-4)=41>0

　　∴方程有两个不相等的实数根。

　　　(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，

　　　　∵Δ=(-b)²-4·a·0=b²,

　　　　　∵无论b取任何关数，b²均为非负数，

　　　　　∴Δ≥0，　　故方程有两个实数根。

　②  根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

　　例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x²-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；

分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；

　　解：Δ=(-4)²-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k

　　（1）∵方程有两个不相等的实数根，

　　　∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9

　　（2）∵方程有两个不相等的实数根，

　　　　　∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9

　　（3）∵方程有两个不相等的实数根，

　　∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9

③  证明字母系数方程有实数根或无实数根。

　　例3．求证方程(m²+1)x²-2mx+(m²+4)=0没有实数根。

　　分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。

　　证明：　　Δ=(-2m)²-4(m²+1)(m²+4)

　　　=4m²-4(m⁴+5m²+4)

　　　=-4m⁴-16m²-16=-4(m⁴+4m²+4)

　　　=-4(m²+2)²

　　∵不论m取任何实数(m²+2)²>0,

　　∴ -4(m²+2)²<0, 即Δ<0.

　　∴关于x的方程(m²+1)x²-2mx+(m²+4)=0没有实数根。

　　小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：

　　（1）计算Δ（2）用配方法将Δ恒等变形（3）判断Δ的符号（4）结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a²,a²+2,(a²+2)², -a², -(a²+2)²的代数式，从而判定正负，非负等情况。

④  应用根的判别式判断三角形的形状。

　　例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x²+m)+b(x²-m)-2 ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。

　　证明：整理原方程：

　　方程c(x²+m)+b(x²-m)- 2 ax =0.

　　整理方程得：cx²+cm+bx²-bm-2 ax =0

　　(c+b)x²-2 ax +cm-bm=0

　　根据题意：

　　∵方程有两个相等的实数根，

　　∴Δ=(-2 a)²-4(c+b)(cm-bm)=0

　　　4ma²-4(c²m-bcm+bcm-b²m)=0

　　　ma²-c²m+b²m=0

　　∴Δ=m(a²+b²-c²)=0

　　又∵ m>0,　　∴a²+b²-c²=0　　∴a²+b²=c²　　又∵a,b,c为ΔABC的三边，　　∴ΔABC为RtΔ。

⑤   判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式

例5、（1）若关于a的二次三项式16a²+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（ ）;

　　（2）若关于a的二次三项式ka²+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）;

 分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即Δ=0

解：（1）令16a²+ka+1=0

　　　　∵方程有两个相等的实数根，

∴Δ=k²-4×16×25=0

∴k=+40或者-40

（2）令ka²+4a+15=0

　　　　∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0  ∴k=4

⑥  可以判断抛物线与直线有无公共点

例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x＋2m只有一个公共点？

解:列方程组 消去y并整理得x²+x-m-1=0

   ，∵抛物线与直线只有一个交点，

∴Δ＝0，即　4m+5=0      ∴     

(  说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。)

⑦  可以判断抛物线与x轴有几个交点

分析：抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点  （１）当y=0时，即有ax²+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax²+bx+c=0。可见，抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：  

  ①  当 时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x₁，0）（x₂，0）。   

 ②当 时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（ ）。   

 ③当 时，抛物线与x轴没有交点。

　　例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数：

  　　（１） 　　　（２）  　　　（３）

　　  解：（１）Δ＝16-12=4>0    ∴抛物线与x轴有两个交点。

     　　　 （２）Δ＝36-36=0      ∴抛物线与x轴只有一个公共点。

    　　　  （３）Δ＝4-16=-12<0   ∴抛物线与x轴无公共点。

　　例8、已知抛物线

　　  （１）当m取什么值时，抛物线和x轴有两个公共点？

　　  （２）当m取什么值时，抛物线和x轴只有一个公共点？并求出这个公共点的坐标。

 　　 （３）当m取什么值时，抛物线和x轴没有公共点？

　　解：令y=0，则 　　　Δ＝4-4(m-1)= -4m+8

 　　   (1)∵抛物线与x轴有两个公共点，　∴Δ>0，即 – 4m+8>0       ∴m<2

 　　   (2)∵抛物线和x轴只有一个公共点，　∴Δ＝0，即 –4m+8=0    ∴m=2

       　　 当m=2时，方程可化为 ，解得x₁=x₂= -1，∴抛物线与x轴公共点坐标为（-1,0）。

　　    (3)∵抛物线与x轴没有公共点，　∴Δ<0，即　－4m+8<0，　∴m>2

       ∴当m>2时，抛物线与x轴没有公共点。

⑧  利用根的判别式解有关抛物线 （Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题.

　　分析:抛物线 （Δ>0）与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 的两根差的绝对值。它有以下表示方法：

 　　 例9: 求当a为何值时?二次函数  图象与x轴的两个交点间的距离是3。

 　　 解：令y=0，得方程 ，设这个一元二次方程的两根分别为x₁和x₂，则 　由 　得 ，即 。进而得 　　∴a= 或a= 。    ∴当 时，图象与x轴两个交点间的距离是3。